Question

（2012•莆田模擬）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點P(

2

，1)，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點，且△PF₁F₂的面積等于

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M、N是直線x=-

3

2

上的兩個動點，滿足F₁M⊥F₂N，問以MN為直徑的圓C是否恒過定點？若是，請給予證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△PF₁F₂的面積等于

2

，求出橢圓的焦距，利用橢圓過點P(

2

，1)，求出a的值，從而可求橢圓E的方程；
（2）設M（-

3

2

，m），N（-

3

2

，n），利用F₁M⊥F₂N，可得mn=-

1

4

，求出圓C的方程，令y=0，即可得出結論．

解答：解：（1）設橢圓的焦距為2c，則
∵△PF₁F₂的面積等于

2

，∴

1

2

×2c×1=

2

∴c=

2

∴F₁（-

2

，0）、F₂（

2

，0）
∵橢圓過點P(

2

，1)，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=2
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）設M（-

3

2

，m），N（-

3

2

，n），則

F1M

=（-

3

2

+

2

，m），

F2N

=（-

3

2

-

2

，n）
∵F₁M⊥F₂N，∴

F1M

•

F2N

=0
∴

9

4

-2+mn=0，∴mn=-

1

4

以MN為直徑的圓C的圓心為（-

3

2

，

m+n

2

），半徑為

|m-n|

2

∴圓C的方程為(x+

3

2

)2+(y-

m+n

2

)2=

(m-n)2

4

即x²+y²+3x-（m+n）y+2=0
令y=0，整理得x²+3x+2=0
∴x=-1或x=-2
∴以MN為直徑的圓C必過定點（-1，0）和（-2，0）．

點評：本題主要考查橢圓方程、直線與圓的方程，考查位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．