Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2a_n-2 ⁿ⁺¹．
（1）證明：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）若不等式a _n+1＜（5-λ）a_n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2²得a₁=4．由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，得a_n=2a_n-1+2ⁿ，由此能夠證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由

an

2n

=n+1，知a_n=（n+1）•2ⁿ．因為a_n＞0，所以不等式a_n+1＜（5-λ）a_n等價于

an+1

an

＜5-λ．因為

an+1

an

=2+

2

n+1

，而0＜

2

n+1

≤1，所以

an+1

an

=2+

2

n+1

≤3，由此能求出使不等式a_n+1＜（5-λ）a_n成立的λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2²
得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ．
即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

an-1

2n-1

+1-

an-1

2n-1

=1．
又

a1

21

=2，
所以數(shù)列{

an

2n

}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

2n

=n+1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ．
因為a_n＞0，所以不等式a_n+1＜（5-λ）a_n等價于

an+1

an

＜5-λ．
因為

an+1

an

=2+

2

n+1

，
而0＜

2

n+1

≤1，
所以

an+1

an

=2+

2

n+1

≤3，
故3＜5-λ，即λ＜2．
故使不等式a_n+1＜（5-λ）a_n成立的λ的取值范圍是（-∞，2）． …（12分）

點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．