Question

研究表明：學(xué)生的接受能力依賴于老師持續(xù)講課所用的時(shí)間．上課開始時(shí)，學(xué)生興趣高，接受能力遞增，中間有一段時(shí)間學(xué)生的興趣不變，接受能力穩(wěn)定在某個(gè)狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，接受能力下降．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明：用f（x）表示學(xué)生的接受能力，x表示老師講課所用的時(shí)間（單位：分），可有以下的關(guān)系式：f(x)=

-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10) 59，(10＜x≤16) -3x+107，(16＜x≤30).

（1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時(shí)間？
（2）一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要不低于55的接受能力，上課開始30分鐘內(nèi)，問(wèn)能達(dá)到該接受能力所要求的時(shí)間共有多少分鐘？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，分析出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值點(diǎn)，及取最大值時(shí)，自變量的取值范圍，可得答案．
（2）根據(jù)題意，構(gòu)造不等式f（x）≥55，另外根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（1）0＜x≤10時(shí)，有f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
對(duì)稱軸x=13在區(qū)間（0，10]右邊
故當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）遞增，
最大值為f（10）=-0.1×（-3）²+59.9=59；
顯然，當(dāng)16＜x≤30時(shí)，f（x）遞減，
f（x）＜-3×16+107=59．
因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力（值為59），并維持6分鐘…（6分）
（2）依題意，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
令f（x）≥55，則（x-13）²≤49，
∴6≤x≤10；
當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）=59符合要求；
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，令f（x）≥55，則x≤17

1

3

因此，學(xué)生不低于55的接受能力的時(shí)間共有17

1

3

-6=11

1

3

（分鐘）…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)，分段函數(shù)分段處理是解答分段函數(shù)時(shí)，最常用的方法，它是分類討論思想在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．