Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|（x∈R），四位同學(xué)研究得出如下四個命題，其中真命題的有

 

①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
③不等式f（x）＜2014×2015的解集為∅；
④關(guān)于實數(shù)a的方程f（2a-3）=f（a-1）可能有無數(shù)解．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①利用偶函數(shù)的定義可判斷；對于②正確；對于③研究函數(shù)的最小值為2×

2014×2015

2

=2010×2011，故可判斷；對于④當a∈[1，2]時，2a-3∈[-1，1]，a-1∈[-1，1]，此時方程f（2a-3）=f（a-1）恒成立，故可得結(jié)論

解答： 解：∵f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2014|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2014|=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|=f（x）
∴①f（x）是偶函數(shù)，正確；
對于②，當x在[-1，1]的時候，|x+1|+|x-1|就是x到-1的距離加上x到1的距離，由于x在-1和1之間，所以距離之和正好是2，
同樣的，|x+2|+|x-2|正好是4，|x+2011|+|x-2011|正好是4022，即函數(shù)在[-1，1]上是常數(shù)函數(shù)，故②錯誤；
對于③，∵當x=0時，函數(shù)的最小值為2×

2014×2015

2

=2014×2015，故正確；
對于④由②可知，當a∈[1，2]時，2a-3∈[-1，1]，a-1∈[-1，1]，此時方程f（2a-3）=f（a-1）恒成立，故④正確，
故答案為：①③④

點評：本題主要考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)，研究其性質(zhì)．