Question

已知a>0，數(shù)列滿(mǎn)足a₁=a，a_n+1=a+，n=1，2，…．

（1）已知數(shù)列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；

（2）設(shè)b_n=a_n-A，n=1，2，…，證明：b_n+1=；

（3）若對(duì)n=1，2…都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． （1）解：存在，且A=(A>0)，對(duì)an+1=a+兩邊取極限得． A=a+．解得A=．又A>0，∴ A=． （2）證明：由an=bn+A，an+1=a+得    bn+1+A=a+． ∴ ． 即bn+1=對(duì)n=1，2，…都成立． （3）解：令． ∴ ∴ -a£1，解得a³． 現(xiàn)證明當(dāng)a³時(shí)，對(duì)n=1，2，…都成立． ①當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立（已驗(yàn)證）． ②假設(shè)當(dāng)n=k(k³1)時(shí)結(jié)論成立，即，那么． 故只須證明，即證對(duì)a³成立． 由于， 而當(dāng)a³時(shí)，-a£1，∴ A³2． ∴ ． 故當(dāng)a³時(shí)，． 即n=k+1時(shí)結(jié)論成立． 根據(jù)①和②，可知結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立． 故對(duì)n=1，2…都成立的a的取值范圍為．