Question

（2013•梅州一模）某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件，這種零件有甲、乙兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品，為估計(jì)各項(xiàng)技術(shù)的達(dá)標(biāo)概率，現(xiàn)從中抽取1000個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的有600個(gè)，而甲項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的有250個(gè)．
（1）求一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)不為合格品的概率及乙項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率；
（2）任意抽取該零件3個(gè)，求至少有一個(gè)合格品的概率；
（3）任意抽取該種零件4個(gè)，設(shè)ξ表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）記一個(gè)零件中甲項(xiàng)技術(shù)達(dá)標(biāo)的事件為A，乙項(xiàng)技術(shù)達(dá)標(biāo)的事件為B，求出兩項(xiàng)技術(shù)都達(dá)標(biāo)的概率為P（AB），及甲項(xiàng)技術(shù)不達(dá)標(biāo)的概率P（

.

A

），然后可求一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)不合格的概率為1-P（AB），進(jìn)而由P（B）=

P(AB)

P(A)

（2）任意抽取該種零件3個(gè)，至少有一個(gè)合格品的對(duì)立事件是都不合格，利用對(duì)立事件的概率可求
（3）先判斷隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，然后求出各取值下的概率，即可求解分布列

解答：解：（1）記一個(gè)零件中甲項(xiàng)技術(shù)達(dá)標(biāo)的事件為A，乙項(xiàng)技術(shù)達(dá)標(biāo)的事件為B
由題意可得，兩項(xiàng)技術(shù)都達(dá)標(biāo)的概率為P（AB）=

600

1000

=

3

5

甲項(xiàng)技術(shù)不達(dá)標(biāo)的概率P（

.

A

）=

250

1000

=

1

4

因此一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)不合格的概率為1-P（AB）=1-

3

5

=

2

5

由獨(dú)立性可知，P（AB）=P（A）P（B）
∴P（B）=

P(AB)

P(A)

=

3 5

3 4

=

4

5

即乙項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的 概率為

4

5

（2）任意抽取該種零件3個(gè)，至少有一個(gè)合格品的概率1-(

2

5

)3=

117

125

（3）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4
P（ξ=0）=

C

0 4

(

3

5

)0(

2

5

)4=

16

625

P（ξ=1）=

C

1 4

(

3

5

)(

2

5

)3=

96

625

P（ξ=2）=

C

2 4

(

3

5

)2(

2

5

)2=

216

625

P（ξ=3）=

C

3 4

(

3

5

)3(

2

5

)=

216

625

P（ξ=4）=

C

4 4

(

3

5

)4=

81

625

∴ξ的分布列為

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列的求解，解題的關(guān)鍵是利用相互對(duì)立事件的概率公式及對(duì)立事件的概率的求解．