Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-3x，a為常數(shù)，且x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f'（x）-6，x∈R，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=3（ax²-1），x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f′（1）=0，
∴a-1=0，∴a=1．
又f'（x）=3（x+1）（x-1），函數(shù)f（x）在x=1兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，
∴a=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=f（x）+f′（x）-6=x³+3x²-3x-9．
則g′（x）=3（x²+2x-1），令g′（x）=0，得x²+2x-1=0，∴．
隨x的變化，g′（x）與g（x）的變化如下：

x
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		極大值		極小值

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．…（8分）
（Ⅲ） f′（x）=3（x²-1），設(shè)切點(diǎn)為T（x₀，y₀），則切線的斜率為，…（9分）
整理得2x³-3x²+m+3=0，依題意，方程有3個(gè)根．…（10分）
設(shè)h（x）=2x³-3x²+m+3，則h′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
令h′（x）=0，得x₁=0，x₂=1，則h（x）在區(qū)間（-∞，0），[1，+∞）上單調(diào)遞增，
在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．…（11分）
因此，，解得-3＜m＜-2．所以m的取值范圍為（-3，-2）．…（14分）
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（1）=0，求出a的值；
（Ⅱ）通過(guò)函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x）-6，x∈R，求出g（x）的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 利用 f′（x）=3（x²-1），設(shè)切點(diǎn)為T（x₀，y₀），則切線的斜率相等，方程有3個(gè)解，就是函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，并且極大值大于0，極小值小于0，即可求m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是難題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，極值的處理方法，切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值的關(guān)系，考查邏輯推理能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，計(jì)算量大，考查函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想，常考題型．