Question

過(guò)點(diǎn)P（1，4）作直線L，直線L與x，y的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，
①△ABO的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程；
②當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí)，求此時(shí)直線L的方程．

Answer 1

分析：方法一：將過(guò)點(diǎn)P（1，4）作直線L設(shè)為截距式，則

1

a

+

4

b

=1，①△ABO的面積為S=

1

2

ab，②|OA|+|OB|=a+b，分別利用均值定理解決其最值問(wèn)題，進(jìn)而求得直線方程；
方法二：將過(guò)點(diǎn)P（1，4）作直線L設(shè)為點(diǎn)斜式，將A、B坐標(biāo)用k表示，進(jìn)而將①△ABO的面積為S，②|OA|+|OB|表示為關(guān)于k的函數(shù)，分別求最值，進(jìn)而求直線方程

解答：解：法一：依題意可設(shè)直線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0 ）
則A（a，0 ），B（0，b ），直線L過(guò)點(diǎn)P（1，4），∴

1

a

+

4

b

=1，
又a＞0，b＞0
∴

1

a

+

4

b

=1≥2

4 ab

=

4

ab

，∴

ab

≥4，ab≥16
①S△ABO=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×ab≥

1

2

×16=8
當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

4

b

=

1

2

，即a=2，b=8時(shí)取等號(hào)，
∴S的最小值為8
此時(shí)直線方程為：

x

2

+

y

8

=1，即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=a+b=（a+b ）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

4ab ab

=9
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即b=2a且

1

a

+

4

b

=1，即a=3，b=6時(shí)取等號(hào)，
∴|OA|+|OB|的值最小為9，此時(shí)直線方程為：

x

3

+

y

6

=1即：2x+y-6=0
法二：①依題意可設(shè)直線l的方程為：y-4=k （ x-1 ） （ k＜0 ）
令 x=0，則y=4-k，B（ 0，4-k）；令 y=0，則x=-

4

k

+1，A （-

4

k

+1，0）
S=

1

2

（4-k）（ -

4

k

+1）=

1

2

（-

16

k

-k+8 ）≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)-16/k=-k時(shí)，即 k=-4時(shí)取等號(hào)，S的最小值為8，
此時(shí)直線方程為：y-4=-4（ x-1 ），即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=（ -

4

k

+1）+（4-k）=-

4

k

-k+5≥4+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)-

4

k

=-k時(shí)，即 k=-2時(shí)取等號(hào)，|OA|+|OB|的值最小，
此時(shí)直線方程為：：y-4=-2 （ x-1 ）  即：2x+y-6=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線方程的截距式和點(diǎn)斜式、一般式方程，利用均值定理求函數(shù)最值的方法，恰當(dāng)?shù)倪x擇直線方程的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵