Question

等差數(shù)列{a_n}中,2a₁+3a₂=11,2a₃=a₂+a₆-4,其前n項和為S_n.
(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式.
(2)設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=,其前n項和為T_n,求證:T_n<(n∈N^*).

Answer 1

(1) a_n=2n-1     (2)見解析

(1)2a₁+3a₂=2a₁+3(a₁+d)=5a₁+3d=11,
2a₃=a₂+a₆-4,
即2(a₁+2d)=a₁+d+a₁+5d-4,得d=2,
則a₁=1,故a_n=2n-1.
(2)由(1)得S_n=n²,∴b_n==
===(-),
T_n=(-+-+-+…+-+-)
=(+--)<(n∈N^*).
【方法技巧】裂項相消法的應(yīng)用技巧
裂項相消法的基本思想是把數(shù)列的通項a_n分拆成a_n=b_n+1-b_n或者a_n=b_n-b_n+1或者a_n=b_n+2-b_n等,從而達到在求和時逐項相消的目的,在解題中要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列a_n的通項公式,使之符合裂項相消的條件.在裂項時一定要注意把數(shù)列的通項分拆成的兩項一定是某個數(shù)列中的相鄰的兩項或者是等距離間隔的兩項,只有這樣才能實現(xiàn)逐項相消后剩下幾項,達到求和的目的.