Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-a_n，公差為3的等差數(shù)列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-a_n，，再寫(xiě)一式，兩式相減可得數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用公差為3的等差數(shù)列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項(xiàng)，可求首項(xiàng)，從而可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•，利用錯(cuò)位相減法，可得結(jié)論．
解答：解：（I）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-a_n，∴n≥2時(shí)，S_n-1=1-a_n-1，
∴兩式相減可得a_n=a_n-1-a_n，∴=（n≥2）
∵n=1時(shí)，S₁=1-a₁，∴a₁=
∴數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴a_n=；
∵公差為3的等差數(shù)列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項(xiàng)
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•
∴T_n=1•+4•+…+（3n-2）•
∴T_n=1•+4•+…+（3n-5）•+（3n-2）•
兩式相減可得T_n=1•+3•+3•+…+3•-（3n-2）•=2-（3n+4）•
∴T_n=4-（6n+8）•．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．