Question

（本小題滿分14分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點。[

   （1）求證：AB₁//面BDC₁；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）若在線段AB₁上存在點P，使得CP面BDC₁，試求AA₁的長及點P的位置。

Answer 1

（1）見解析（2）（3）點P位置是在線段AB₁上且

解析:

（1）連接B₁C，交BC₁于點O，

       則O為B₁C的中點，

       D為AC中點，

       ，

       又平面BDC₁，平面BDC₁

              BDC₁    4分

   （2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC??₁，

       面ABC，

       則BC平面AC₁，CC₁AC

       如圖建系，則

      

      

設(shè)平面C₁DB的法向量為 z

       則

       又平面BDC的法向量為

       二面角C₁—BD—C的余弦值：

          9分

   （3）設(shè)，

       則

      

       又面BDC₁，

      

       解得

       所以AA₁=2，點P位置是在線段AB₁上且 14分