Question

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直l的參數(shù)方程是 （t是參數(shù)）
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|= ，求直線的傾斜角α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ可化為：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

∴（x﹣2）2+y2=4

（2）解：將 代入圓的方程（x﹣2）2+y2=4得：

（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，

化簡得t2﹣2tcosα﹣3=0．

設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，

則 ，

∴|AB|=|t1﹣t2|= = ，

∵|AB|= ，

∴ = ．

∴cos ．

∵α∈[0，π），

∴ 或 ．

∴直線的傾斜角 或

【解析】本題（1）可以利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo) 互化的化式，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）先將直l的參數(shù)方程是 （t是參數(shù)）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦長，也可以直接利用直線的參數(shù)方程和圓的普通方程聯(lián)解，求出對應(yīng)的參數(shù)t1 ， t2的關(guān)系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范圍．