Question

現(xiàn)有5位同學(xué)準(zhǔn)備一起做一項(xiàng)游戲，他們的身高各不相同．現(xiàn)在要從他們5個(gè)人當(dāng)中選擇出若干人組成A，B兩個(gè)小組，每個(gè)小組都至少有1人，并且要求B組中最矮的那個(gè)同學(xué)的身高要比A組中最高的那個(gè)同學(xué)還要高．則不同的選法共有
A．50種
B．49種
C．48種
D．47種

Answer 1

【答案】分析：先將5位同學(xué)按身高的不同由矮到高分別編號(hào)為1，2，3，4，5，組成集合M={1，2，3，4，5}，這樣就把要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的概率問(wèn)題，再根據(jù)小組A中最高者的人數(shù)分情況討論即可．
解答：解：將5位同學(xué)按身高的不同由矮到高分別編號(hào)為1，2，3，4，5，組成集合M={1，2，3，4，5}．
①若小組A中最高者為1，則能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{2，3，4，5}的非空子集，這樣的子集有C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴=2⁴-1=15個(gè)，
∴不同的選法有15個(gè)；
②若A中最高者為2，則這樣的小組A有2個(gè)：{2}、{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{3，4，5}的非空子集，這樣的子集（小組B）有2³-1=7個(gè)，
∴不同的選法有2×7=14個(gè)；
③若A中最高者為3，則這樣的小組A有4個(gè)：{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{4，5}的非空子集，這樣的子集（小組B）有2²-1=3個(gè)，
∴不同的選法有4×3=12個(gè)；④若A中最高者為4，則這樣的小組A有8個(gè)：{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B只有{5}1個(gè)，
∴不同的選法有8個(gè)．
∴綜上，所有不同的選法是15+14+12+8=49個(gè)．
故答案選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了排列與組合的實(shí)際問(wèn)題，要求同學(xué)們掌握好排列與組合的計(jì)算方法，并且要學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．