Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a²-c²=（a-b）•b．
（1）若2cos2B-8cosB+5=0，判斷△ABC的形狀；
（2）若△ABC為銳角三角形，求

ab

c2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入計算求出cosC的值，由C為三角形內角求出C的度數，根據已知等式求出cosB的值，進而求出B的度數，即可做出判斷；
（2）所求式子利用正弦定理化簡，將sinC的值代入，利用積化和差公式變形為一個角的正弦函數，根據三角形ABC為銳角三角形，求出A的范圍，進而確定出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出正弦函數的值域，即可確定出所求式子的范圍．

解答：解：（1）由a²-c²=（a-b）•b，即a²+b²-c²=ab得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=60°，
由2cos2B-8cosB+5=0得（2cosB-3）•（2cosB-1）=0，
∴cosB=

1

2

（cosB=

3

2

＞1，舍去），
∴B=60°，
則△ABC為等邊三角形；
（2）

ab

c2

=

sinAsinB

sin2C

=

4

3

[sinAsin（120°-A）]=

4

3

[

1

2

sin（2A-30°）+

1

4

]=

2

3

sin（2A-30°）+

1

3

，
∵△ABC為銳角三角形，
∴

0°＜A＜90° 0°＜120°-A＜90°

，
∴30°＜A＜90°，
∴30°＜2A-30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（2A-30°）≤1，即

2

3

＜

2

3

sin（2A-30°）+

1

3

≤1，
則

ab

c2

的取值范圍為（

2

3

，1]．

點評：此題考查了正弦定理、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．