Question

【題目】已知數(shù)列 ，為其前項的和，滿足．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求證：當時；

（3）（理）已知當，且時有，其中，求滿足的所有的值．

（4）（文）若函數(shù)的定義域為，并且，求證．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析 （3）或 （4）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)和項與通項關(guān)系求解；

（2）法一：根據(jù)定義直接化簡，再對照，證得結(jié)果；法二，利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明；

（3）先根據(jù)疊加法得時，再逐一驗證，即得結(jié)果；

（4）先根據(jù)定義域為，討論分析得的取值范圍，再根據(jù)極限確定的取值范圍，即證得結(jié)果.

解：（1）當時，

又 ，所以

(2)、<法一> ，，

<法二>：數(shù)學(xué)歸納法

①時，，

②假設(shè)時有

當時，

是原式成立

由①②可知當時；

(3)、（理），

相加得，

，

時，無解

又當時；，時，；時，

時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，不符合

時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，不符合

綜上所述或者

(4)、易知，否則若，則，與矛盾

因為函數(shù)的定義域為，所以恒不為零，

而的值域為所以，

又時，，與矛盾，故

且

，

即有。