Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍A；
（2）當(dāng)a為A中最小值時(shí)，定義數(shù)列{a_n}滿足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），試比較a_n與a_n+1的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函數(shù)可得f′（1）=-3+a≥0，可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍A；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，可求得a_n+1=f（a_n）=-+a_n，且a₁=b∈（0，1），用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n∈（0，1），對(duì)n∈N^*恒成立，再作差比較a_n與a_n+1的大小．
解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax，
∴f′（x）=-3x²+a，
∵f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函數(shù)，
∴f′（1）=-3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，由題意：a_n+1=f（a_n）=-+a_n，且a₁=b∈（0，1），
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n∈（0，1），對(duì)n∈N^*恒成立．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b∈（0，1）成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k∈（0，1）成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=-a_k³+a_k，由①知g（x）=（-x³+3x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）
即0＜a_k+1＜1，
由①②知對(duì)一切n∈N^*都有a_n∈（0，1）
而a_n+1-a_n=-a_n³+a_n-a_n=a_n（1-a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n∈（0，1），對(duì)n∈N^*恒成立是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，屬于難題．