Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4， （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）直線l過P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。

Answer 1

解：設(shè)橢圓方程為，
（Ⅰ）由已知得，
∴所求橢圓方程為；
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+2，，
由，消去y得關(guān)于x的方程：，
由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，
又由韋達(dá)定理得，
∴
，
原點(diǎn)O到直線l的距離，
，
對(duì)兩邊平方整理得：，（*）
∵S≠0，
整理得：，
又S＞0，
∴，從而的最大值為，
此時(shí)代入方程（*）得，
∴，
所以，所求直線方程為：。