Question

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過(guò)F₂垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△F₁MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a²-b²=1，由此可求橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，則△F₁MN的周長(zhǎng)=4a=8，（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為=1（a＞b＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1…（1分）
由|PQ|=3，可得=3，…（2分）
又a²-b²=1，解得a=2，b=，…（3分）
故橢圓方程為=1…（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，
則△F₁MN的周長(zhǎng)=4a=8，（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此最大，R就最大，…（6分）
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（8分）
得，，
則=，…（9分）
令t=，則t≥1，
則，…（10分）
令f（t）=3t+，則f′（t）=3-，
當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，S_△F1MN≤3，
即當(dāng)t=1，m=0時(shí)，S_△F1MN≤3，
S_△F1MN=4R，∴R_max=，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為π．
故直線l：x=1，△F₁MN內(nèi)切圓面積的最大值為π…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，分析得出最大，R就最大是關(guān)鍵．