Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）由已知條件可得ACBD，PABD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證
（II）結(jié)合已知條件，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OB⊥OC，故考慮分別以O(shè)B，OC為x軸、y軸，以過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB與AC所成的角為θ，則θ可轉(zhuǎn)化為

PB

與

AC

所成的角，代入公式COSθ=

| PB • AC

| PB || AC|

|可求
（III）分別求平面PBC的法向量

m

=(3，

3

，

6

t

)，平面PDC的法向量

n

=(-3，

3

，

6

t

)                          
由平面PBC⊥平面PDC可得

m

•

n

=0從而可求t即PA

解答：解：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）設(shè)AC∩BD=O，因?yàn)椤螧AD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=

3

，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC為x軸、y軸，以過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則
P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0）

所以

PB

=(1，

3

，-2)，

AC

=(0，2

3

，0)
設(shè)PB與AC所成的角為θ，則cosθ=|

PB • AC

| PB || AC |

|=

6

2 2 ×2 3

=

6

4

（III）由（II）知

BC

=(-1，

3

，0)，設(shè)P(0，-

3

，t)(t＞0)，
則

BP

=(-1，-

3

，t)
設(shè)平面PBC的法向量

m

=（x，y，z）
則

BC

•

m

=0   

BP

•

m

=0，
所以

-x+ 3 y=0 -x+ 3 y+tz=0

令y=

3

，則x=3，z=

6

t

，
平面PBC的法向量所以

m

=(3，

3

，

6

t

)，
同理平面PDC的法向量

n

=(-3，

3

，

6

t

)，因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，
所以

m

•

n

=0，即-6+

36

t2

=0，解得t=

6

，
所以PA=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、異面直線所成的角、用空間向量的方法求解直線的夾角、距離等問題，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力