Question

已知向量

a

=(cosx，2sinx)，

b

=(2cosx，

3

cosx)，f(x)=

a

•

b

，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、單調遞增區(qū)間；
（2）將y=f（x）按向量

m

平移后得到y(tǒng)=2sin2x的圖象，求向量

m

．

Answer 1

分析：（1）向量

a

=(cosx，2sinx)，

b

=(2cosx，

3

cosx)，代入f(x)=

a

•

b

，利用二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出它的周期，利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間求出函數(shù)的單調增區(qū)間即可．
（2）設出向量

m

=(h，k)，利用平移公式，化簡函數(shù)，通過y=2sin（2x+2h）-k與f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1為同一函數(shù)，求出

m

即可．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1（3分）
函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．（4分）
又2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z）..（5分）
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）（6分）
（2）設

m

=(h，k)
由平移公式

x/=x+h y/=y+k

代入y=sin2x得：y+k=2sin[2（x+h）]（8分）
整理得y=2sin（2x+2h）-k與f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1為同一函數(shù)，
故h=

π

12

+nπ(n∈Z)，k=-1，所以

m

=(

π

12

+nπ，-1)(n∈Z)（12分）

點評：本題是基礎題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的周期以及單調增區(qū)間的求法，三角函數(shù)的圖象的平移，是�？碱}型．