Question

設(shè)?A、B?、C?分別為復(fù)數(shù)平面上代表1+i?、1+iZ，以及1-i的點(diǎn)．請問下列哪些選項(xiàng)所對應(yīng)的點(diǎn)落在△OAB的內(nèi)部？
（1）cos60°
（2）cos50°+isin50°
（3）

4-3i

5

（4）

1+ 3 i

2

（5）（cos30°+isin30°）²⁵．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的三個(gè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，寫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，得到以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，把所給的五個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，從模長到幅角兩個(gè)方面來說明．

解答：解：可知

.

OA

與

.

OB

均與x軸夾45度角．
且

.

OA

=

.

OB

=

12+12

=

2

，

.

OC

=1
（1）cos60°=

1

2

+0i，故cos60°位于x軸上
距離原點(diǎn)

1

2

單位之處，所以cos60°位
于△ABC內(nèi)部．
（2）cos50°+isin50°與原點(diǎn)距離為

cos250°+sin250°

=1，且與x軸夾50度角的點(diǎn)，
故此點(diǎn)在△ABC外部．（因?yàn)?0°＞45°）
（3）

4

5

-

3

5

i在復(fù)數(shù)平面對應(yīng)到點(diǎn)(

4

5

，-

3

5

)∵(

4

5

，-

4

5

)在

.

OB

上，
∴(

4

5

，-

3

5

)在△ABC內(nèi)部．
（4）

1

2

+

3

2

i在復(fù)數(shù)平面對應(yīng)到點(diǎn)(

1

2

，

3

2

)∵(

1

2

，

1

2

)在

.

OA

上，
∴(

1

2

，

3

2

)在外部．
（5）（cos30°+isin30°）²⁵=cos750°+isin750°=cos30°+isin30°，
此點(diǎn)與原點(diǎn)距離為

cos230°+sin230°

=1，且與x軸夾30度角的點(diǎn)，
故此點(diǎn)在△ABC內(nèi)部．（因?yàn)?0°＜45°）
答：（1）（3）（5）

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的三角形式，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，題目中所給的五個(gè)點(diǎn)具有共同的特征，檢驗(yàn)方式一樣．