Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中， .

（1）當(dāng)時，求在點(diǎn)處切線的方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）記，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，即可寫出切線；（2）根據(jù)單調(diào)遞增可知函數(shù)導(dǎo)數(shù)在上大于等于零恒成立，分離參數(shù)即可求出a的取值范圍；（3）寫出，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可證明.

試題解析：

（1）解：當(dāng)時， ，

∴，此時切點(diǎn)為，

∴的方程為．

（2）解：∵，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴在區(qū)間上恒成立，

∴在上恒成立，則，

令，則，當(dāng)時， ，

∴，

∴．

（3）證明：∵，∴，則，

∴，

令，

則，

令，則，

顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

∴，則．