Question

已知函數(shù)f(x)=5-

6

x

，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若對(duì)于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對(duì)于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)無窮數(shù)列{b_n}，使其滿足下列兩個(gè)條件，并加以證明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②當(dāng)a為{b_n}中的任意一項(xiàng)時(shí)，{a_n}中必有某一項(xiàng)的值為1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n，我們不難根據(jù)a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由a_n+1＞a_n，我們不難根據(jù)a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知條件進(jìn)行驗(yàn)證，可得結(jié)果．
（3）我們可以根據(jù)已知條件中數(shù)列的形式，構(gòu)造出滿足條件的無窮數(shù)列，然后再結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行證明．

解答：解：（1）由題意得a_n+1=a_n=a，∴a=

5a -6

a

，得a=2或a=3，符合題意
（2）設(shè)a_n+1＞a_n，即

5an-6

an

＞an，解得a_n＜0或2＜a_n＜3
∴要使a₂＞a₁成立，則a₁＜0或2＜a₁＜3
①當(dāng)a₁＜0時(shí)，
a2=

5a1-6

a1

=5-

6

a1

＞5，
而a3-a2=

5a2-6

a2

-a2=

-(a2-2)(a2-3)

a2

＜0，
即a₃＜a₂，不滿足題意．
②當(dāng)2＜a₁＜3時(shí)，
a2=5-

6

a1

∈(2，3)，a3=5-

6

a2

∈(2，3)，
a_n∈（2，3），
此時(shí)，an+1-an=

5an-6

an

-an=

-(an-2)(an-3)

an

＞0，
∴a_n+1＞a_n，滿足題意．
綜上，a∈（2，3）
（3）構(gòu)造數(shù)列{b_n}：b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

，
下面證明滿足要求．
此時(shí)bn=5-

6

bn+1

，不妨設(shè)a取b_n，
那么a2=5-

6

a1

=5-

6

bn

=bn-1，a3=5-

6

a2

=5-

6

bn-1

=bn-2，
an=5-

6

an-1

=5-

6

b2

=b1=

3

2

，an+1=5-

6

an

=5-

6

b1

=1.
由b1=

3

2

＜2，
可得bn+1=

6

5-bn

＜2
因?yàn)?span id="hod1qvq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">bn+1-bn=

6

5-bn

-bn=

(bn-2)(bn-3)

5-bn

＞0，
所以b_n＜b_n+1
又b_n＜2≠5，所以數(shù)列{b_n}是無窮數(shù)列，
因此構(gòu)造的數(shù)列{b_n}符合題意．

點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)f(x)=5-

6

x

，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．當(dāng)a_n+1=a_n成立時(shí)，可以用方程思想解決問題，當(dāng)a_n+1＞a_n成立時(shí)，可以用不等式思想，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；這其實(shí)是函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)換，也是數(shù)列的函數(shù)特征最好的體現(xiàn)．