Question

（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

 

 

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié).

 

 

由 是直三棱柱，

得 四邊形為矩形，為的中點.

又為中點，所以為中位線，

所以 ∥，         ………………2分

因為 平面，平面，

所以 ∥平面.    ………………4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標系.                           ………………5分

設(shè)，則.

所以 ，              

設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得.            ………………7分

易知平面的法向量為.                       ………………8分

由二面角是銳角，得 .      ………………9分

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點.

因為在線段上，，，故可設(shè)，其中.

所以 ，.                    ………………11分

因為與成角，所以.              ………………12分

即，解得，舍去.           ………………13分

所以當點為線段中點時，與成角.         ………………14分

【解析】略