Question

（08年沈陽二中四模理）（14分）已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足,。

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求點的軌跡；

（Ⅱ）過定點作直線交軌跡于兩點，是點關于坐標原點的對稱點，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在求出的方程；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）設

且

………………………………4分

∴動點M的軌跡C是以O（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線（除去原點）…5分

（Ⅱ）解：依題意，設直線的方程為，

，則A，B兩點的坐標滿足

方程組消去并整理得：

…………………………………7分

設直線AE和BE的斜率分別為，則

＝

…………………………9分

，.…………………………10分

（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點為，與AD為直徑的圓相交于點F、G，FG的中點為H，則，點的坐標為.

……………………………12分

 

令，得，此時，

∴當，即時，（定值）

∴當時，滿足條件的直線存在，其方程為；當時，滿足條件的直線不存在. ………………………………………14分