Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a＞0）在x=x₁和x=x₂處取得極值．
（Ⅰ）若c=-a²，且|x₁-x₂|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）+x，若0＜x₁＜x₂＜

1

3a

，且x∈（0，x₁），證明：x＜g（x）＜x₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可得f′（x）=3ax²+2bx-a²，x₁、x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，利用韋達定理將|x₁-x₂|=2，整理為：
得b²=3a²（3-a），設(shè)h（a）=-3a³+9a²，則h′（a）=-9a²+18a；由h′（a）＞0與h′（a）＜0，可求得h（a）在（0，3]上的極大值，從而得到b的最大值；
（Ⅱ）一方面，由x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩根，g（x）=f′（x）+x⇒f′（x）=g（x）-x=3a（x-x₁）（x-x₂）＞0⇒g（x）＞x；另一方面，0＜x＜x1＜x2＜

1

3a

，x₁-g（x）=x₁-[x+f′（x）]=x₁-x-3a（x-x₁）（x-x₂）=（x₁-x）[1+3a（x-x₂）]＞0，于是得證．

解答：解：（Ⅰ）∵c=-a²，∴f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁、x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，a＞0，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a

3

；
∵|x₁-x₂|=2，
∴(x1+x2) 2-4x₁x₂=4，即(-

2b

3a

)2-4（-

a

3

）=4，整理得b²=3a²（3-a），
∵b²≥0，
∴0＜a≤3；
設(shè)h（a）=-3a³+9a²，則h′（a）=-9a²+18a；
由h′（a）＞0，得0＜a＜2；由h′（a）＜0，得a＞2．
∴h（a）=-3a³+9a²在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，3）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=2時，h（a）有極大值12，
∴h（a）在（0，3]上的最大值是12，從而b的最大值是2

3

…3分
（Ⅱ）由g（x）=f′（x）+x，得f′（x）=g（x）-x，
∵x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩根，
∴f′（x）=g（x）-x=3a（x-x₁）（x-x₂），
當(dāng)x∈（0，x₁）時，由于x₁＜x₂，故（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，故g（x）-x=3a（x-x₁）（x-x₂）＞0，即g（x）＞x；…7分
又x₁-g（x）=x₁-[x+f′（x）]=x₁-x-3a（x-x₁）（x-x₂）=（x₁-x）[1+3a（x-x₂）]，
∵0＜x＜x1＜x2＜

1

3a

，
∴x₁-x＞0，[1+3a（x-x₂）]=1+3ax-3ax₂＞1-3ax₂＞0，
∴g（x）＜x₁；…10分
綜上所述：x＜g（x）＜x₁．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，難點在于（Ⅱ）的證明，須用作差發(fā)分兩步分別證明g（x）＞x與g（x）＜x₁，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．