Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

1

2

nan+an-c（c是常數(shù)，n∈N*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)Sn=

1

2

nan+an-c，令n=1代入求出a₁，令n=2代入求出a₂，由a₂=6即可求出c的值，由c的值即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式列舉出各項(xiàng)并代入所證不等式的坐標(biāo)，利用

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

2

（

1

2n+2

-

1

2n+4

），把各項(xiàng)拆項(xiàng)后抵消化簡后即可得證．

解答：解：（Ⅰ）解：因?yàn)?span id="tt3alpd" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Sn=

1

2

nan+an-c，
所以當(dāng)n=1時(shí)，S1=

1

2

a1+a1-c，解得a₁=2c，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₂+a₂-c，即a₁+a₂=2a₂-c，解得a₂=3c，
所以3c=6，解得c=2，
則a₁=4，數(shù)列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+2；
（Ⅱ）因?yàn)?span id="lbimrfs" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n+2

-

1

2n+4

)
=

1

2

[(

1

4

-

1

6

)+(

1

6

-

1

8

)+…+(

1

2n+2

-

1

2n+4

)]
=

1

2

(

1

4

-

1

2n+4

)
=

1

8

-

1

4(n+2)

．
因?yàn)閚∈N*，所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

8

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡求值，會利用拆項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列的求和，是一道綜合題．