Question

（1）證明：對(duì)?x＞0，lnx≤x-1；
（2）數(shù)列{a_n}，若存在常數(shù)M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，則稱數(shù)列{a_n}有上界．已知，試判斷數(shù)列{b_n}是否有上界．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，得出g（x）在x=1處取最大值，即可證得結(jié)論；
（2）假設(shè)，從而得出，由（1）得，即，再利用?M＞0，取n為任意一個(gè)不小于e^M的自然數(shù)，則，從而得出數(shù)列{b_n}無上界．
解答：證：（1）設(shè)g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，?x＞0.…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，g（x）單調(diào)遞增…（3分）；
當(dāng)x＞1時(shí)，，g（x）單調(diào)遞減…（4分），
所以g（x）在x=1處取最大值，即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）數(shù)列{b_n}無上界…（7分）?n∈N^*，設(shè)…（8分），，
由（1）得，…（10分），
所以=ln（n+1）…（13分），
?M＞0，取n為任意一個(gè)不小于e^M的自然數(shù)，
則，數(shù)列{b_n}無上界…（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全稱命題、數(shù)列的通項(xiàng)公式在求解中的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．