Question

已知函數(shù)，.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)≥0，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ），                          ………………………1分

因此在處的切線的斜率為，       ………………………2分

又直線的斜率為，                    ………………………3分

∴（）＝－1，

∴ ＝－1.                                            ………………………5分

（Ⅱ）∵當(dāng)≥0時(shí)，恒成立，

∴ 先考慮＝0，此時(shí)，，可為任意實(shí)數(shù)；      ………………………6分

   又當(dāng)＞0時(shí)，恒成立，

則恒成立，                       …………………………………………7分

設(shè)＝，則＝，

當(dāng)∈(0,1)時(shí)，＞0，在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)∈(1,＋∞)時(shí)，＜0，在(1,＋∞)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)＝1時(shí)，取得極大值，

，                    …………………………………………9分

∴ 要使≥0，恒成立，＞－，

∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為．        …………………………………………10分

（Ⅲ）依題意，曲線C的方程為，

令＝，則＝

設(shè)，則，

當(dāng)，，故在上的最小值為，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直，

則＝0，矛盾。                    …………………………………………13分

所以，不存在實(shí)數(shù)，使曲線C：在點(diǎn)處的切線與軸垂直.

…………………………………………14分