Question

若當x∈[

1

2

，2]時，函數(shù)f（x）=x²+px+q與函數(shù)g(x)=2x+

1

x2

在同一點處取得相同的最小值，則函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是

4

．

Answer 1

分析：利用基本不等式可求得g（x）=x+x+

1

x2

≥3（當x=1時取“=”），從而可求得p=-2，q=4，從而可求得f（x）在[

1

2

，2]上的最大值．

解答：解：∵x∈[

1

2

，2]，g（x）=x+x+

1

x2

≥3（當且僅當x=1時取“=”），
∵數(shù)f（x）=x²+px+q與函數(shù)g(x)=2x+

1

x2

在同一點處取得相同的最小值，
∴f（x）=x²+px+q在x=1處取到最小值3，而x∈[

1

2

，2]，
∴-

p

2

=1，p=-2．
∴f（1）=1²-2×1+q=3，
∴q=4．
∴f（x）=x²-2x+4，
∵f（x）=x²-2x+4在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，且2到x=1的距離大于

1

2

到x=1的距離，二次函數(shù)開口向上，
∴x∈[

1

2

，2]，f（x）_max=f（2）=2²-2×2+4=4．
故答案為：4．

點評：本題考查基本不等式，通過基本不等式的應用考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性與最值，考查分析轉(zhuǎn)化與運算的能力，屬于中檔題．