【題目】如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,E是PC的中點.
(1)求證:平面PAC⊥平面BDE;
(2)若二面角E-BD-C為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
【答案】(1)見解析(2)a3
【解析】試題分析:(1) 設法證明平面 內的一條直線
垂直于平面
內的兩條相交直線即可;(2)取
中點
,連結
,由已知條件推導出
為二面角
的平面角,由此能求出四棱錐
的體積
試題解析:(1)證明 連接OE,如圖所示.
∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD.在正方形ABCD中,BD⊥AC,
又∵PO∩AC=0,∴BD⊥面PAC.
又∵BD面BDE,∴面PAC⊥面BDE.
(2)
解 取OC中點F,連接EF.
∵E為PC中點,
∴EF為△POC的中位線,∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD,
∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD,∴OE⊥BD.
∴∠EOF為二面角E-BD-C的平面角,
∴∠EOF=30°.
在Rt△OEF中,OF=OC=
AC=
a,∴EF=OF·tan 30°=
a,∴OP=2EF=
a.
∴VP-ABCD=×a2×
a=
a3.
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【題目】已知拋物線的焦點為
,
為
軸上的點.
(1)過點作直線
與
相切,求切線
的方程;
(2)如果存在過點的直線
與拋物線交于
,
兩點,且直線
與
的傾斜角互補,求實數
的取值范圍.
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【題目】已知函數(
為常數,
,
的部分圖象如圖所示,有下列結論:
①函數的最小正周期為
②函數在
上的值域為
③函數的一條對稱軸是
④函數的圖象關于點
對稱
⑤函數在
上為減函數
其中正確的是______.(填寫所有正確結論的編號)
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【題目】記(
,
).
(1)求函數的零點;
(2)設、
、
均為正整數,且
為最簡根式,若存在
,使得
可唯一表示為
的形式(
),求證:
;
(3)已知,是否存在
,使得
成立,若存在,試求出的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓O:與坐標軸分別交于A1,A2,B1,B2(如圖).
(1)點Q是圓O上除A1,A2外的任意點(如圖1),直線A1Q,A2Q與直線交于不同的兩點M,N,求線段MN長的最小值;
(2)點P是圓O上除A1,A2,B1,B2外的任意點(如圖2),直線B2P交x軸于點F,直線A1B2交A2P于點E.設A2P的斜率為k,EF的斜率為m,求證:2m﹣k為定值.
(圖1) (圖2)
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【題目】如圖,在三棱錐中,
,
,D,E分別為BC,PD的中點,F為AB上一點,且
.
(1)求證:平面PAD;
(2)求證:平面PAC;
(3)若二面角為60°,求三棱錐
的體積.
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【題目】已知圓:
關于直線
對稱且過點
和
,直線
的方程為:
.
(1)證明:直線與圓
相交;
(2)記直線與圓
的兩個交點為
,
.
①若弦長,求實數
的值;
②求面積的最大值及
面積的最大時
的值.
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