Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD= ， AB=2，CD=3，M為PC上一點，PM=2MC．
（Ⅰ）證明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求二面角D﹣MB﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（1）在DC上取點E，使DE=2，
則DE∥AB，DE=AB，
則四邊形ABED是平行四邊形，
則EB∥AD，
∵，∴PD∥ME，
則平面PAD∥平面MBE，
∵BM平面MBE，BM平面PAD，
∴BM∥平面PAD
（2）△ABD是正三角形，建立以D為坐標原點的空間直角坐標系如圖：

則B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），M（0，2，1），
=（，1，0），=（0，2，1），
設平面DBM的法向量為=（x，y，z），
則由=x+y=0，=2y+z=0，得，
令x=1，則y=﹣，z=2則=（1，﹣，2），
設平面MBC的法向量為=（x，y，z），=（﹣，2，0），=（0，1，﹣1），
則=﹣x+2y=0，=y﹣z=0，
令x=2，則y=，z=，
即=（2，，），
則cos＜，＞====，
則二面角D﹣MB﹣C的正弦值sinα==．
即平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值是．

【解析】（Ⅰ）根據線面平行的判定定理即可證明BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，建立空間直角坐標系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D﹣MB﹣C的正弦值。