Question

【題目】已知O為△ABC的外心，且 ． ①若∠C=90°，則λ+μ=；
②若∠ABC=60°，則λ+μ的最大值為 ．

Answer 1

【答案】；
【解析】解：①若∠C=90°，則O是斜邊AB的中點，如圖①所示：
∴ = ，
∴λ= ，μ=0，
∴λ+μ= ；②設△ABC的外接圓半徑為1，以外接圓圓心為原點建立坐標系：

∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，
設A（1，0），C（﹣ ， ），B（x，y），
則 =（1﹣x，﹣y）， =（﹣ ﹣x， ﹣y）， =（﹣x，﹣y），
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵B在圓x2+y2=1上，
∴（ ）2+（ ）2=（λ+μ﹣1）2 ，
∴λμ= ≤（ ）2 ，
∴ （λ+μ）2﹣ （λ+μ）+ ≥0，
解得λ+μ≤ 或λ+μ≥2，
∵B只能在優(yōu)弧 上，∴λ+μ≤ ，
即λ+μ得最大值為 ．
所以答案是：（1） ，（2） ．
【考點精析】利用平面向量的基本定理及其意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使．