Question

如圖,在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.

(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;

(2)若E是PD的中點(diǎn),求異面直線AE與PC所成角的余弦值;

(3)在BC邊上是否存在一點(diǎn)G,使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為1?若存在,求出BG的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

證明:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),E(0,1,),P(0,0,1).

    ∴=(-1,0,0), =(0,2,0),=(0,0,1), =(0,1,), =(1,2,-1).

    (1)平面PDC⊥平面PAD.

    (2)∵cos〈,〉===,

    ∴所求角的余弦值為.

    (3)假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件,令BG=x(0≤x≤2),則G(1,x,0),作DQ⊥AG,垂足為Q,則DQ⊥平面PAG,即DQ=1.

    ∵2S_△ADG=S_矩形ABCD,

    ∴||·||=||·||=2.∴||=2.

    又AG=,∴x=＜2.

    故存在點(diǎn)G,當(dāng)BG=3時,使點(diǎn)D到平面PAG的距離為1.