Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•(

b

+

c

)，其中向量

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(sinx，-3cosx)，

c

=(-cosx，sinx)，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象按向量

d

平移，使平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，求長度最小的

d

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用向量的運算法則及三角函數(shù)的倍角公式化簡f（x），再用三角函數(shù)的周期公式求．
（Ⅱ）用整體代換的方法求出平移后得到的圖象的所有對稱中心，即求得

d

，通過二次函數(shù)的最值求．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=a•（b+c）=（sinx，-cosx）•（sinx-cosx，sinx-3cosx）
=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=2+cos2x-sin2x=2+

2

sin（2x+

3π

4

）．
所以，f（x）的最大值為2+

2

，最小正周期是

2π

2

=π．
（Ⅱ）由sin（2x+

3π

4

）=0得2x+

3π

4

=k．π，即x=

kπ

2

-

3π

8

，k∈Z，
于是d=（

kπ

2

-

3π

8

，-2），|d|=

( kπ 2 - 3π 8 )2+4

，k∈Z．
因為k為整數(shù)，要使|d|最小，則只有k=1，此時d=（-

π

8

，-2）即為所求．

點評：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的基本知識，考查推理和運算能力