Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-m，0）（m是大于零的常數(shù)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸相交于點(diǎn)M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）依題意可知c，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，最后根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得；
（2）設(shè)出直線l的方程，則M的坐標(biāo)可得，設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)|

MQ

|=2|

QF

|，求得x₁和y₁代入橢圓方程求得k．

解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-m，0）
∴c=m，

c

a

=

1

2

∴a=2c=2m，∴b=

a2-c2

=

3

m，
∴橢圓的方程為：

x2

4m2

+

y2

3m2

=1；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k，直線l的方程為y=k（x+m），則有M（0，km），
設(shè)Q（x₁，y₁），則
∵|

MQ

|=2|

QF

|，根據(jù)題意得（x₁，y₁-km）=±2（x₁+m，y₁）解得x₁=-2m，y₁=-km或x₁=-

2

3

m，y₁=

km

3

又Q在橢圓C上，故

(-2m)2

4m2

+

(-km)2

3m2

=1或

(- 2 3 m)2

4m2

+

( km 3 )2

3m2

=1
解得k=0或k=±2

6

綜上，直線l的斜率0或±2

6

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．