Question

如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，，矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；

（Ⅲ）當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為？

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）平面平面,平面

平面平面平面（II）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）證明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又為圓的直徑，，

平面．            

平面，平面平面………4分

（II）根據(jù)（Ⅰ）的證明，有平面，

為在平面內(nèi)的射影,

因此，為直線與平面所成的角  ……………6分

，四邊形為等腰梯形，

過點(diǎn)作，交于．

,，則．

在中，根據(jù)射影定理，得．

，．

直線與平面所成角的大小為．       …………8分

（Ⅲ）設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向分別為軸、軸、 軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為則 ,又

   

設(shè)平面的法向量為，則,．

即    令，解得

 ………………………………..10分

由（I）可知平面，取平面的一個(gè)法向量為，依題意 與的夾角為，即， 解得

因此，當(dāng)的長(zhǎng)為時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為.…12分

考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)及線面角，二面角的求解

點(diǎn)評(píng)：采用空間向量的方法求解關(guān)于點(diǎn)的位置或線段長(zhǎng)度的題目較簡(jiǎn)便易行