Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在射線x-y+1=0（x≥0）上
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）過(guò)（1）中拋物線的焦點(diǎn)F作動(dòng)弦AB，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并求出

FC • FD

FM 2

的值．

Answer 1

（1）∵是標(biāo)準(zhǔn)方程，∴其焦點(diǎn)應(yīng)該在坐標(biāo)軸上，
∴令x=0，代入射線x-y+1=0，解得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）
當(dāng)焦點(diǎn)為（0，1）時(shí)，可知P=2，∴其方程為x²=4y．
（2）設(shè)A(x1，

x 21

4

)，B(x2，

x2

4

2)
過(guò)拋物線A，B兩點(diǎn)的切線方程分別是y=

x1

2

x-

1

4

x12，y=

x2

2

x-

x2

4

2
其交點(diǎn)坐標(biāo)M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
設(shè)AB的直線方程y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x1x2=-4，M(

x1+x2

2

，-1)，所以點(diǎn)M的軌跡為y=-1
∵

FC

=(x1，

x 21

4

-1)，

FD

=(x2，

x 22

4

-1)
∴

FC

•

FD

=x1x2+(

x 21

4

-1)(

x 22

4

-1)=-

1

4

(

x

21

+

x

22

)-2
而

FM2

=(

x1+x2

2

-0)2+(-1-1)2=

1

4

(

x

21

+

x

22

)+2
∴

FC • FD

FM 2

=-1．