Question

已知一個(gè)長(zhǎng)方體交于一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為1，其表面積為
（1）將長(zhǎng)方體的體積V表示為其中一條棱長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時(shí)三棱長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）設(shè)三條棱長(zhǎng)分別為：x，y，z，則x+y+z=1，…（1分）
得，
∴V==…（4分）
又∵y+z=1-x，，
∴y、z是方程的兩根得≤x≤
∴V=（ ≤x≤）．…（6分）
（2），得或…（8分）
當(dāng)或時(shí)，V有最小值，
當(dāng)或時(shí)，V有最大值．…（10分）
（3）當(dāng)V有最大值時(shí)，三棱長(zhǎng)分別為：． …（12分）
分析：（1）根據(jù)一個(gè)長(zhǎng)方體交于一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為1，其表面積為，設(shè)三條棱長(zhǎng)分別為：x，y，z，則x+y+z=1，，從而可得函數(shù)解析式，由此可確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，求極值點(diǎn)，從而可確定函數(shù)的最值；
（3）由第（2）條件最大時(shí)x的值，結(jié)合x(chóng)+y+z=1，，可求三棱長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題i長(zhǎng)方體為載體，考查函數(shù)關(guān)系的建立，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，有綜合性．