Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若S₃+S₆=2S₉，求數(shù)列的公比q．

Answer 1

分析：先假設(shè)q=1，分別利用首項(xiàng)表示出前3、6、及9項(xiàng)的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)S₃+S₆=2S₉得到關(guān)于q的方程，根據(jù)q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．

解答：解：若q=1，則有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
但a₁≠0，即得S₃+S₆≠2S₉，與題設(shè)矛盾，q≠1．
又依題意S₃+S₆=2S₉
可得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q9)

1-q

整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．
（2q³+1）（q³-1）=0，
∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0
∴q=-

3 4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，是一道綜合題．