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        1. 如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA,PD,CD的中點.

          (1)求證:PB∥面EFG;

          (2)求異面直線EG與BD所成的角;

          (3)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離為0.8.若存在,求出CQ的值;若不存在,請說明理由.

          答案:
          解析:

            解法一:(1)證明:取AB中點H,連結GH,HE,

            ∵E,F(xiàn),G分別是線段PA、PD、CD的中點,

            ∴GH∥AD∥EF,

            ∴E,F(xiàn),G,H四點共面.……1分

            又H為AB中點,

            ∴EH∥PB.……2分

            又面EFG,平面EFG,

            ∴PB∥面EFG.……3分

            (2)解:取BC的中點M,連結GM、AM、EM,則GM∥BD,

            ∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角.……4分

            在Rt△MAE中,

            同理,……5分

            又

            ∴在Rt△MGE中,……6分

            故異面直線EG與BD所成的角為.……7分

            (3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件.過點Q作QR⊥AB于R,連結RE,則QR∥AD.

            ∵ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,

            ∴AD⊥AB,AD⊥PA,

            又AB∩PA=A,

            ∴AD⊥平面PAB.……8分

            又∵E,F(xiàn)分別是PA,PD中點,

            ∴EF∥AD,∴EF⊥平面PAB

            又面EFQ,

            ∴面EFQ⊥平面PAB.……9分

            過A作AT⊥ER于T,則AT⊥面EFQ,

            ∴AT就是點A到平面EFQ的距離.……10分

            設CQ=x(0≤x≤2),則BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,

            在Rt△EAR中,……11分

            解得

            故存在點Q,當時,點A到平面EFQ的距離為0.8……12分

            解法二:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,

            則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0).

            (1)證明:∵,

            ,……1分

            設,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)

            解得s=t=2.

            ∴,又∵不共線,∴、共面.……2分

            ∵平面EFG,∴PB∥平面EFG.……3分

            (2)解:∵,,……4分

            ∴.……6分`

            故異面直線EG與BD所成的角為.……7分

            (3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件.令CQ=m(0≤m≤2),則DQ=2-m,

            ∴點Q的坐標為(2-m,2,0),∴.……8分

            而,設平面EFQ的法向量為,則

            

            ∴

            令x=1,則.……9分

            又,

            ∴點A到平面EFQ的距離……10分

            即,∴不合題意,舍去.

            故存在點Q,當時,點A到平面EFQ的距離為0.8……12分


          練習冊系列答案
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          (1)求證:DP∥平面ANC;
          (2)求證:M是PC中點;
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          圖22

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