Question

拋物線x²=8y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線對(duì)稱軸上，過A可作直線交拋物線于點(diǎn)M、N，使得

.

BM•

.

MN

=-

. MN 2

2

，則|

OB

|的取值范圍是

（6，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)直線MN的方程為y=kx-2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)E（x₀，y₀），聯(lián)立方程

y=kx-2 x2=8y

可得x²-8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求MN的中點(diǎn)E，由

.

BM

•

MN

=-

. MN 2

2

可得BE⊥MN即M在MN的垂直平分線，則MN的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)即是B，令x=0可求B的縱坐標(biāo)，從而可求得|

OB

|的范圍．

解答：解：由題意可得A（0，-2），直線MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線MN的方程為y=kx-2，聯(lián)立方

y=kx-2 x2=8y

得x²-8kx+16=0，
設(shè)M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)E（x₀，y₀），
則△=64k²-64＞0，即k²＞1，
x₁+x₂=8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-4+8k²，
∴x₀=4k，y₀=-2+4k²即E（4k，-2+4k²）．
∵

.

BM

•

MN

=-

. MN 2

2

，
∴2

.

BM

•

MN

+|

MN

|2=0，即2

MN

•（

.

BM

+

ME

）=0，而

.

BM

+

ME

=

.

BE

，
∴BE⊥MN即點(diǎn)B在MN的垂直平分線上，
∵M(jìn)N的斜率為k，E（4k，-2+4k²）．
∴MN的垂直平分線BE的方程為：y-4k²+2=-

1

k

（x-4k），與y軸的交點(diǎn)即是B，
令x=0可得，y=2+4k²，
則|

OB

|=2+4k²＞6．
故答案為：（6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于向量知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于難題．