Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.

（1）若，求的值；

（2）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)，見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題得，所以，得，即得的值；

（2）利用累乘法得到，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，求出，，所以，再證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）原題等價(jià)于，不妨設(shè)，即對(duì)任意正整數(shù)（）恒成立，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，再證明當(dāng)且時(shí)，，即得解.

（1）解：由，令，得，

因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以，

所以，

所以.

（2）證明：由得：

，……，，相乘得：，

因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以，

當(dāng)時(shí)：，所以，

即，

即，

因?yàn)?/span>，所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，

所以，所以，

所以，，所以，

所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.

(3) 解：當(dāng)，時(shí)，由(2)知，所以，即，

不妨設(shè)，則，，所以，

即對(duì)任意正整數(shù)（）恒成立，

則，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，

設(shè)，

時(shí)，；時(shí)，；

時(shí)，；時(shí)，；

時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，.

所以時(shí)，，

令或（舍去）.

所以當(dāng)且時(shí)，，

所以不存在滿足條件的實(shí)數(shù).