Question

（2013•成都二模）已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

-alnx，g（x）=x+

1

x

-（lnx）^a，其中x＞0，a∈R
（I）若函數(shù)f（x）無(wú)極值，求a的取值范圍；
（II）當(dāng)a�。↖）中的最大值時(shí)，求函數(shù)g（x）的最小值；
（III）證明不等式

n

k=1

1

2k (2k+1)

＞ln

2n+1

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）無(wú)極值，等價(jià)于方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上無(wú)根或有唯一根，由此即可求a的取值范圍；
（II）當(dāng)a�。↖）中的最大值時(shí)，先證明x＞0時(shí)，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|，再換元，即可求函數(shù)g（x）的最小值；
（III）先證明

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

，在利用放縮法，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

x2-ax+1

x2

∵函數(shù)f（x）無(wú)極值，∴方程x²-ax+1=0在（0，+∞）上無(wú)根或有唯一根
∴方程a=x+

1

x

在（0，+∞）上無(wú)根或有唯一根
∴a≤2；
（II）解：a=2時(shí)，f（x）=x-

1

x

-2lnx，g（x）=x+

1

x

-（lnx）²，
由（I）知，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x-

1

x

-2lnx＜f（1）=0，即x-

1

x

＜2lnx＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞f（1）=0，即x-

1

x

＞2lnx＞0；
∴x＞0時(shí)，|x-

1

x

|≥|2lnx|=|lnx²|
令x²=t＞0，∴|

t

-

1

t

|≥|lnt|
平方得t+

1

t

-2≥(lnt)2
∴t＞0時(shí)，t+

1

t

-(lnt)2≥2成立，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值2；
（III）證明：由上知，x＞1時(shí)，x+

1

x

-（lnx）²＞2，即(

x

-

1

x

)2＞(lnx)2
∴x＞1時(shí)，

x

-

1

x

＞lnx成立，
令x=

2n+1

2n

，得

2n+1 2n

-

2n 2n+1

＞ln

2n+1

2n

，
即

1

2n(2n+1)

＞ln

2n+1

2n

∴不等式

n

k=1

1

2k (2k+1)

＞ln

21+1

21

+…+ln

2n+1

2n

＞ln

21+2

21+1

+…+ln

2n+2

2n+1

=ln(2n•

20+1

21+1

•…•

2n-1+1

2n+1

)=ln

2n+1

2n+1

即

n

k=1

1

2k (2k+1)

＞ln

2n+1

2n+1

(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．