Question

一個圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，且該圓過橢圓的中心交橢圓于P，直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點(diǎn)）是該圓的切線，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意思可得：點(diǎn)P是切點(diǎn)，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．所以∠PF₁F₂=30°，所以．根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．進(jìn)而得到答案．
解答：解：設(shè)F₂為橢圓的右焦點(diǎn)
由題意可得：圓與橢圓交于P，并且直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點(diǎn)）是該圓的切線，
所以點(diǎn)P是切點(diǎn)，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．
又因?yàn)镕₁F₂=2c，所以∠PF₁F₂=30°，所以．
根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．
所以2a-c=，所以e=．
故選D．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的相切問題，以即橢圓的定義．