Question

已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)G在橢圓C上，且，的面積為3.

（1）求橢圓C的方程：

（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為A，B，過(guò)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N（不同于點(diǎn)A，B），探索直線AM，BN的交點(diǎn)能否在一條垂直于軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直線AM，BN的交點(diǎn)必在一條垂直于軸的定直線上，這條直線的方程是．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的方程，由橢圓的離心率為，得，，由得，，得得，即，由的面積為3，得，由于，可得，即，可求出，從而可得，即得橢圓的方程；（2）這是探索性命題，由于探索直線AM，BN的交點(diǎn)能否在一條垂直于軸的定直線上，可有特例求出定直線，然后驗(yàn)證一般情況，故當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，直線與橢圓Ｃ的交點(diǎn)坐標(biāo)，，寫(xiě)出直線的方程，解交點(diǎn)坐標(biāo)為，它在垂直于軸的直線上，然后驗(yàn)證當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，交點(diǎn)必在直線上即可，因此設(shè)直線，代入橢圓Ｃ的方程，設(shè)，利用根與系數(shù)關(guān)系，得關(guān)系式，再寫(xiě)出直線的方程，消去，解方程得即可．

試題解析：（1）設(shè)，由于，所以，

根據(jù)，得，即，

因?yàn)?/span>的面積為３，，所以，

所以有，解得，所以，

所以橢圓才Ｃ的方程為。 5分

（２）由（１）知。

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，直線與橢圓Ｃ的交點(diǎn)坐標(biāo)，，此時(shí)直線，聯(lián)立兩直線方程，解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（４，３）。它在垂直于軸的直線上。 7分

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線，代入橢圓Ｃ的方程，整理得，設(shè)直線與橢圓Ｃ的交點(diǎn)，則。

直線AM的方程為，即，

直線BN的方程為，即

由直線AM與直線BN的方程消去，得

所以直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線上。 12分

綜上所述，直線AM，BN的交點(diǎn)必在一條垂直于軸的定直線上，這條直線的方程是． 13分

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與二次曲線位置關(guān)系，定值問(wèn)題．