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        1. 如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為正三角形,AA1⊥平面ABC,且AA1=AB=3,D 是BC的中點(diǎn).
          (I)求證:A1B∥平面ADC1
          (II)求證:平面ADC1⊥平面DCC1;
          (III)在側(cè)棱CC1上是否存在一點(diǎn)E,使得三棱錐C-ADE的體積是數(shù)學(xué)公式,若存在,求CE長;若不存在,說明理由.

          解:(Ⅰ)連接A1C交AC1于點(diǎn)O,連接OD.
          ∵三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
          ∴四邊形ACC1A1為矩形,可得點(diǎn)O為A1C的中點(diǎn).
          ∵D為BC中點(diǎn),得DO為△A1BC中位線,
          ∴A1B∥OD.
          ∵OD⊆平面ADC1,A1B?平面ADC1,
          ∴A1B∥平面ADC1.…(4分)
          (Ⅱ)∵底面ABC正三角形,D是BC的中點(diǎn)
          ∴AD⊥CD
          ∵CC1⊥平面ABC,AD⊆平面ABC,∴CC1⊥AD.
          ∵CC1∩CD=C,∴AD⊥平面DCC1,
          ∵AD⊆平面ADC1,∴平面ADC1⊥平面DCC1.…(9分)
          (Ⅲ)假設(shè)在側(cè)棱CC1上存在一點(diǎn)E,使三棱錐C-ADE的體積是,設(shè)CE=m
          ∵三棱錐C-ADE的體積VC-ADE=VA-CDE
          ××CD×CE×AD=,得×××m×=
          ∴m=,即CE=
          ∴在側(cè)棱CC1上存在一點(diǎn)E,當(dāng)CE=時(shí),三棱錐C-ADE的體積是.…(14分)
          分析:(Ⅰ)連接A1C交AC1于點(diǎn)O,連接OD.可得DO為△A1BC中位線,A1B∥OD,結(jié)合線面平行的判定定理,得A1B∥平面ADC1
          (II)由CC1⊥平面ABC,得CC1⊥AD.正三角形ABC中,中線AD⊥BC,結(jié)合線面垂直的判定定理,得AD⊥平面DCC1,最后由面面垂直的判定定理,證出平面ADC1⊥平面DCC1
          (III)假設(shè)在側(cè)棱CC1上存在一點(diǎn)E且CE=m,滿足三棱錐C-ADE體積是,利用△CDE作為底、AD為高,得三棱錐A-CDE的體積,即為三棱錐C-ADE的體積,建立等式即可解出m的值,所以在側(cè)棱CC1上存在點(diǎn)E,使三棱錐C-ADE的體積是
          點(diǎn)評:本題給出直三棱柱,求證線面平行、面面垂直并探索三棱錐的體積,著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì),考查了錐體體積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊系列答案
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          如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
           
          精英家教網(wǎng)

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          精英家教網(wǎng)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn),AB=AC.
          (1)證明:DE⊥平面BCC1
          (2)設(shè)B1C與平面BCD所成的角的大小為30°,求二面角A-BD-C.

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          (2012•黑龍江)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=
          12
          AA1,D是棱AA1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:平面BDC1⊥平面BDC
          (Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.

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          如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,D是BC中點(diǎn),且AA1=AB
          (1)證明:AD⊥BC1
          (2)證明:A1C∥平面AB1D.

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          (2012•大連二模)如圖,三棱柱ABC-A′B′C′,cc′=
          2
          ,BC′=
          2
          ,BC=2,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn).
          (I)求證:EF∥平面A′BC′;
          (Ⅱ)若AC≤
          2
          ,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
          7
          3
          ,求二面角C-AA'-B的大小.

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          同步練習(xí)冊答案