Question

（本題10分）已知，動點滿足，設(shè)動點的軌跡是曲線，直線：與曲線交于兩點.（1）求曲線的方程；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）過點作直線與垂直，且直線與曲線交于兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（1）曲線的方程為；（2）。
（3）當時，四邊形面積有最大值7.

試題分析：（1）設(shè)為曲線上任一點，則由，化簡整理得。
（2）因為根據(jù)向量的關(guān)系式，，所以，所以圓心到直線的距離，所以 
（3）對參數(shù)k，分情況討論，當時，,
當時，圓心到直線的距離，所以
，同理得|PQ|，求解四邊形的面積。
解：（1）設(shè)為曲線上任一點，則由，化簡整理得。
曲線的方程為              --------------3分 
（2）因為，所以，
所以圓心到直線的距離，所以。   -----6分
（3）當時，,
當時，圓心到直線的距離，所以
，同理得
所以
=7當且僅當時取等號。
所以當時，
綜上，當時，四邊形面積有最大值7.           --11
點評：解決該試題的關(guān)鍵是設(shè)出所求點滿足的關(guān)系式，化簡得到軌跡方程，同時利用聯(lián)立方程組的思想得到長度和面積的表示。