Question

甲乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，乙每次擊中目標(biāo)的概率為

1

3

．
（1）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．
（2）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率．
（3）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意得甲擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ為0、1、2、3，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得ξ的分布列和期望；
（2）乙至多擊中目標(biāo)2次的對(duì)立事件是乙能擊中3次，由對(duì)立事件的概率公式得到要求的概率；
（3）甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次包含甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次和甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次，且這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意得甲擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ為0、1、2、3，
當(dāng)ξ=0時(shí)表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，
當(dāng)ξ=1時(shí)表示擊中目標(biāo)1次，P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
當(dāng)ξ=2時(shí)表示擊中目標(biāo)2次，P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
當(dāng)ξ=3時(shí)表示擊中目標(biāo)3次，P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
∴ξ的概率分布如下表：

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

∴Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

（2）乙至多擊中目標(biāo)2次的對(duì)立事件是乙能擊中3次，由對(duì)立事件的概率公式得到概率為1-

C

3 3

×(

1

3

)3=

26

27

；
（3）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B₁，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B₂，則A=B₁+B₂，
∵B₁，B₂為互斥事件，∴P（A）=P（B₁+B₂）=

3

8

×

8

27

+

1

8

×

4

9

=

1

6

∴甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，解題過(guò)程中判斷概率的類型是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，屬于中檔題．