Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（Ⅰ）若的圖像在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4），求的值；

（Ⅱ）若，求證： ；

（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）詳見解析；（3） .

【解析】試題分析：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：，再結(jié)合斜率公式進(jìn)而得出的值；(2)表示出，然后構(gòu)造函數(shù)通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性證明；(3)將函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決.

試題解析：由題知

（Ⅰ） 2分

4分

（Ⅱ），令，

則7分

∴時(shí)， 單調(diào)遞減，

故時(shí)， ，

∴當(dāng)時(shí)， 9分

（Ⅲ）

①

∴至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 10分

②

∴至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 11分

③

此時(shí)， 在上遞減， 上遞增， 上遞減，所以， 至多有三個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?/span>在遞增，所以，又因?yàn)?/span>，所以，使得，又，所以恰有三個(gè)不同零點(diǎn)： ，所以函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍是. 14分